第二讲  上楼梯的问题

　　谁都上过楼梯，但是同学们可能想不到，上楼梯中也有数学问题。这一讲就向大家介绍这方面的知识。

　　例1  ：小明家住在六楼，小华家住在四楼，每层楼之间楼梯的级数都相同。小华回家要走48级楼梯，小明回家要走多少级楼梯？


　　由于一楼不必走楼梯，所以小华回家只走4-1=3（层） 楼梯。根据小华回家要走48级楼梯，可知每一层楼梯级数为48÷3=16 （级）。小明家住在六楼，他只需走6-1=5（层）楼梯，所以小明回家要 走16×5=80（级）楼梯。


例2：甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4层时，乙恰好跑到6层，如果两人跑楼梯的速度保持不变，那么

当甲跑到10层时，乙跑到了几层？

从条件可知道，甲跑3层楼梯的时间，乙可跑5层楼梯，那么甲跑到10层楼时，甲跑了10－1=9

（层）楼梯，乙可跑5×（9÷3）=15（层）楼梯，所以这时乙已跑到了15+1=16（层）。


例3：有一段楼梯有10级台阶，规定每一步能跨一级或两级，最多可以跨三级台阶，问要从地面上到最上面一级台阶，共有多少种不同的走法？


　


　　　　　如果用n表示台阶的级数，a n表示某人走到第n级台阶时，所有可能不同的走法，容易得到：

　　　① 当 n=1时，显然只要1种跨法，即a 1=1。

  ② 当 n=2时，可以一步一级跨，也可以一步跨二级上楼，因此，共有2种不同的
跨法,即a 2=2。

③ 当 n=3时，可以一步一级跨，也可以一步三级跨，还可以第一步跨一级，第二步跨二级或第一步跨二级，第二步跨一级上楼，因此，共有4种不同的跨法，即a 3=4。

④ 当 n=4时， 分三种情况分别讨论跨法：

　　如果第一步跨一级台阶，那么还剩下三级台阶，由③可知有a3 =4（种）跨法。

　　如果第一步跨二级台阶，那么还剩下二级台阶，由②可知有a2 =2（种）跨法。

　　如果第一步跨三级台阶，那么还剩下一级台阶，由①可知有a1 =1（种）跨法。

 　 根据加法原理，有a 4= a1 +a2 +a3 =1+2+4=7

　　类推 ，有

 a5= a2 +a3+a4 =2+4+7=13

          a6= a3 +a4+a5 =4+7+13=24

          a7= a4 +a5+a6=7+13+24=44

          a8= a5 +a6 +a7 =13+24+44=81

          a9= a6+a7+a8 =24+44+81=149

          a10= a7 +a8 +a9=44+81+149=274

　　一般地，有

         an=an-1+an-2+an-3

答：按此上楼方式，10级台阶共有274种不同走法。


例4：商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2梯级，女孩每2秒钟向上走3梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达楼上。问当该扶梯静止时，扶梯可看到的梯级共有多少级？


　

　　
　　个孩子从下走到上，他们各自走过的梯级加上自动扶梯在他们各自需要的时间内上升的梯级数都等于扶梯的长度。

  　设每秒钟自动扶梯上升a级，那么扶梯的长度等于男孩在40秒钟走过的（40×2=）80级加上自动扶梯上升的40a级，也等于女孩50秒钟走过的（50÷2×3=）75级加上自动扶梯上升的50a级。所以有下面等式：

                         40×2＋40a=50÷2×3＋50a。解得

                                  a=0.5。

     所以当扶梯静止时，扶梯可看见的梯级共有40×2＋40a=80＋40×0.5=100级。

例5：商场自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走。结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的楼梯级数是女孩的2倍。问当时扶梯静止时，扶梯可看到的梯级共有多少级？

       
　

　　两个孩子走楼梯的方向不同，这样增加了解题的难度。但是从条件中可知，男孩走楼梯的速度是女孩的2倍，男孩走了80级正好是女孩走了40级的2倍，这样两人走完此楼梯的时间相同。

 　设两人在这相同的时间内自动扶梯上升a级，那么扶梯的长度等于男孩在这段时间走的80级减去自动扶梯上升的a级，也等于女孩在这段相同的时间内走的40级加上自动扶梯上升的a级，所以有下面等式：

                                  80－a=40＋a。解得

                                      a=20。

      所以当扶梯静止时，扶梯可看见的梯级共有40＋a=40＋20=60（级）。

　  练习：

（1） 某人要到高层建筑的10层去，他从1层走到5层用了100秒，如果用同样的速度走到10层，他还需要多少秒？



125秒
　

　

（2）    小李到一幢大楼办事，值班人员问他到几楼办事，他回答说：“我经常来这里办事，我还知道这幢大楼每层之间的楼梯有16级台阶，我从您这里出发到我办完事再回到您这里，共要走96级台阶。”请同学们帮助值班员算一算，小李到这幢大楼的第几层楼办事？



　


 4层
　

　

（3）  甲、乙二人比赛爬楼梯，甲跑到4层时，乙恰好跑到3层，照这样计算，甲跑到16层时，乙跑到几层？



　

　　
11层
　


　

（4）  有一堆火柴共6根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴有多少种不同的取法？



　


 24种
　

（5）  一条过道长4米，小明从这一端走到另一端，每一步只能走0.5米或1米，这样他有多少种不同的走法？




　


 34种
　

（6）  如图2-1，每个小正方形的边长为1个单位长度，每步只能走 一个单位长度或2个单位长度（可以转弯），问走最短路线，从A点到B点共有多少种不同的走法？

                  　　　　　　　 　B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A

 　　　　　       　　　　　　　　　　　　　2-1




　

 260种

（7）  一条过道长4米，小明从这一端走到另一端，每一步只能走0.5米或1米，这样他有多少种不同的走法？



　

 75级